Enunciado

Encontre a sére de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = e 2 x

a = 3

Passo 1

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Passo 2

Podemos escrever f(x) como:

l n x = f 3 + f ' 3 x + f ' ' ( 3 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 3 3 !   x 3 + f 4 ( 3 ) 4 ! x 4 + ⋯  

Usando os dados do passo 1, temos:

e 6 0 ! x - 3 0 + 2 e 6 1 ! x - 3 1 + 4 e 6 2 ! x - 3 2 + 8 e 6 3 ! x - 3 3 + ⋯

Em termos de série, podemos escrever:

∑ n + 1 ∞ 2 n e 6 n ! x - 3 n    

Para encontrarmos o raio de convergência da série podemos aplicar o seguinte critério:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 e 6 x - 3 n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! 2 n e 6 x - 3 n = lim n → ∞ ⁡ 2 | x - 3 | n + 1 = 0 < 1  

Portanto temos que R = ∞ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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