Enunciado

Use séries para avaliar o limite.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar o seguinte limite:

underset(x -> 0)(lim) (x - ln ( 1 + x ))/(x^2)

Podemos reescrever o termo do logarítmo natural como:

ln (1 + x) = x - (1)/(2) x^2 + (1)/(3) x^3 - (1)/(4) x^4 + (1)/(5) x^5 - ...

Passo 2

Sendo assim, podemos substituir esse valor no limite, obtendo:

underset(x -> 0)(lim) (x - ( x - (1)/(2) x^2 + (1)/(3) x^3 - (1)/(4) x^4 + (1)/(5) x^5 - ... ))/(x^2)

= underset(x -> 0)(lim) ((1)/(2) x^2 - (1)/(3) x^3 + (1)/(4) x^4 - (1)/(5) x^5 + ...)/(x^2)

Passo 3

Simplificando o termo em comum x^2 que aparece no numerador e denominador, temos:

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(2) - (1)/(3) x + (1)/(4) x^2 - (1)/(5) x^3 + ...) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x - ln ( 1 + x ))/(x^2) = (1)/(2)

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