Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ 0 0 , 5 x 2 e - x 2 d x ,   ( e r r o < 0,001 )

Podemos reescrever a expressão dentro da integral como:

x 2 e - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 n ! d x

Passo 2

Com isso, a integral é dada por:

∫ x 2 e - x 2 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 n ! 2 n + 3

Resolvendo a integral definida, obtemos:

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 2 n + 3 2 2 n + 3

Passo 3

Expandindo a série, temos:

= 1 24 - 1 160 + 1 179 2 - …

Somando os dois primeiros termos, temos:

1 24 - 1 160 = 0,0354

O terceiro termo possui o valor de:

1 1792 = 5,58 . 10 - 4

Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas:

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x = 0,0354

Resposta

∫ 0 0,5 x 2 e - x 2 d x = 0,0354

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