Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y   d x + 1 + y e x d y = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y   d x + 1 + y e x d y = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Essa aqui tá mais naquele formato de equação separável, acho que é um bom palpite.

E se a gente fizer u = y e x ?

Passo 2

Bom, se u = y e x , temos:

y = u e - x

E aí a gente deriva...

d y = e - x d u - u e - x d x

Agora a gente vai substituir isso na nossa EDO pra ver no que dá...

y   d x + 1 + y e x d y = 0

u e - x   d x + 1 + u e - x d u - u e - x d x = 0

u e - x d x + e - x d u - u e - x d x + e - x u   d u - u 2 e - x d x = 0

e - x d u + e - x u d u - u 2 e - x d x = 0

d u + u   d u - u 2 d x = 0

d u 1 + u = u 2 d x

1 + u u 2   d u = d x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ 1 + u u 2   d u = ∫ d x

- 1 u + ln ⁡ u = x + C

E como u = y e x , temos:

- 1 y e x + ln ⁡ y e x - x = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

- 1 y e x + ln ⁡ y e x - x = C

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