Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

2 y^(' ') + 3 y^' + y = t^2 + 3 s e n t

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é 2 y^(' ') + 3 y^' + y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 e y é o termo independente.

.

2 r^2 + 3 r + 1 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 2 , b = 3 e c = 1 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = 3^2 - 4 (2) (1)

Delta = 1

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- 3 +- sqrt(1))/(2 ( 2 ))

r = (- 3 +- 1)/(4)

r_1 = (- 3 - 1)/(4) = - 1

e

r_2 = (- 3 + 1)/(4) = - (1)/(2)

Passo 3

Como Delta = 1 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

y_h = C_1 e^(- t) + C_2 e^(- (1)/(2) t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = y_p 1 + y_p 2

Onde,

y_p 1 = A + B t + C t^2

Que satisfaz a equação

2 y ' '_p 1 + 3 y '_p 1 + y_p 1 = t^2

y_p 2 = D s e n t + E c o s t

Que satisfaz a equação

2 y ' '_p 2 + 3 y '_p + y_p 2 = 3 s e n t

Substituiremos y_p 1 na EDO do problema para assim, determinar as constantes A, B e C.

y '_p 1 = B + 2 C t

y ' '_p 1 = 2 C

Lembrando que, 2 y ' '_p 1 + 3 y '_p 1 + y_p 1 = t^2

2 ( 2 C ) + 3 ( B + 2 C t ) + ( A + B t + C t^2 ) = t^2

( A + 3 B + 4 C ) + ( B + 6 C ) t + C t^2 = t^2

Para manter a igualdade,

A + 3 B + 4 C = 0

B + 6 C = 0

C = 1

Com isso, resolvendo o sistema

A = 14 B = - 6 C = 1

Logo,

y_p 1 = 14 - 6 t + t^2

Substituiremos y_p 2 na EDO do problema para assim, determinar as constantes C e D.

y '_p 2 = D c o s t - E s e n t

y ' '_p 2 = - D s e n t - E c o s t

Lembrando que, 2 y ' '_p 2 + 3 y '_p + y_p 2 = 3 s e n t

2 ( - D s e n t - E c o s t ) + 3 ( D c o s t - E s e n t ) + ( D s e n t + E c o s t ) = 3 s e n t

(- D - 3 E) s e n t + ( 3 D - E ) c o s t = 3 s e n t

Para manter a igualdade,

- D - 3 E = 3

3 D - E = 0

Com isso, resolvendo o sistema

D = - (3)/(10)

E = - (9)/(10)

Logo,

y_p 2 = - (3)/(10) s e n t - (9)/(10) c o s t

Portanto, a solução particular da EDO será

y_p = 14 - 6 t + t^2 - (3)/(10) s e n t - (9)/(10) c o s t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(- (1)/(2) t) + 14 - 6 t + t^2 - (3)/(10) s e n t - (9)/(10) c o s t

Resposta

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(- (1)/(2) t) + 14 - 6 t + t^2 - (3)/(10) s e n t - (9)/(10) c o s t

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