Enunciado

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x 2 - 3 y 2 - 8

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 )

f y = 3 y 2 - 6 y = 3 y y - 2

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas:

x + 2 = 0 y - 2 = 0

Sendo assim, quando x = - 2 , teremos y = 0 , então temos o ponto - 2 ,   0 . E quando y = 2 , temos x = 0 , então temos o ponto 0 ,   2 .

Passo 3

Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 6 x + 6

f y y = 6 y - 6

f x y = 0

Passo 4

Para o ponto f - 2 ,   0 , podemos observar que:

f x x = 6 ∙ - 2 + 6 = - 6

Determina que pode ser um máximo local, mas vamos confirmar com:

f x x f y y - f x y 2 = 6 ∙ - 2 + 6 ∙ 6 ∙ 0 - 6 - 0 2

= - 12 + 6 ∙ - 6 = 36

Como o valor encontrado é maior que zero, podemos dizer que o ponto crítico 0 ,   0 é um máximo local.

Passo 5

Já o ponto f 0 ,   2 , temos que:

f x x = 6 ∙ 0 + 6 = 6

Como o valor de f x x > 0 , sabemos que pode ser um mínimo local, mas iremos conferir, calculando:

f x x f y y - f x y 2 = 6 ∙ 0 + 6 ∙ 6 ∙ 2 - 6 - 0 2

= 6 ∙ 12 - 6 = 36

Sendo assim, confirmamos que o ponto crítico 0 ,   2 é um mínimo local.

Tchau pessoal.

Resposta

  • f - 2 ,   0 máximo local;
  • f 0 ,   2 mínimo local.

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