Enunciado

Use a regra do quociente para deduzir a fórmula para a derivada de f x = x - n , onde n é um número inteiro positivo.

Passo 1

Bom, temos que achar uma fórmula para a derivada de f x = x - n , usando a regra do quociente. Primeiro, vamos arrumar essa função:

f x = x - n = 1 x n

Agora, sim, temos uma divisão para usar a regra do quociente.

Passo 2

Pela regra do quociente:

f x = 1 x n

f ' x = 1 ' x n - ( 1 ) ( x n ) ' x n 2

Se a gente arruma esse cara:

f ' x = ( 0 ) x n - ( 1 ) ( n x n - 1 ) x 2 n

f ' x = - n x n - 1 x 2 n

Simplificando os termos com x :

f ' x = - n x n - 1 - 2 n

f ' x = - n x - n - 1

Podemos dar uma arrumada só para ficar mais bonito:

f ( x ) = - n x - n + 1

f ' x = - n x n + 1

Prontinho! Essa será a fórmula para a nossa derivada de f x = x - n .

Resposta

f ' x = - n x n + 1

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