Enunciado

Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.

∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2 p

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de p que tornam a série convergente?

Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral a n da nossa série com uma função f ( x ) da seguinte forma:

a n = n 1 + n 2 p ↔ f x = x 1 + x 2 p

Num primeiro momento, já podemos perceber que p < 0 . Por quê???

Bom...Repare que se p > 0 ou mesmo se p = 0 teremos uma série em que lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 .

Partindo dessa observação, vamos calcular a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ x 1 + x 2 p d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x 1 + x 2 p d x

Passo 2

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = 1 + x 2 e d u 2 = x d x :

∫ x 1 + x 2 p d x = 1 2 ∫ u p d u = 1 2 u ( p + 1 ) ( p + 1 ) = 1 2 1 + x 2 ( p + 1 ) ( p + 1 )

Retornando à nossa integral imprópria:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x 1 + x 2 p d x = lim t → ∞ ⁡ 1 2 1 + x 2 ( p + 1 ) ( p + 1 ) 1 t = lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 ( p + 1 ) - 2 ( p + 1 ) 2 p + 1

Para o limite acima não tender para o infinito, precisamos que o expoente p + 1 < 0 , ou seja, que p < - 1 .

Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série:

p > - 1 → ∑ n = 2 ∞ n 1 + n 2 p   d i v e r g e p < - 1 → ∑ n = 2 ∞ n 1 + n 2 p   c o n v e r g e

Resposta

∑ n = 2 ∞ n 1 + n 2 p   é convergente para   p < - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n e - n
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 4
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 2 n 3 + 1
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n n 4 + 1