Enunciado

Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce o seu gráfico.

14. 4 x 2 + 25 y 2 = 25

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma elipse, para encontrarmos seus vértices e focos. O problema é que olhando a equação do jeito que está, podemos não ver que é uma elipse, vamos ajeitar ela para ficar com a cara   x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . Repare que do lado direito temos um 1 , então vamos dividir a equação toda por 25 para fazer aparecer esse 1 e ver como fica:

4 x 2 + 25 y 2 = 25

4 x 2 25 + y 2 1 = 1

Ainda temos alguma coisa de diferente do formato que queremos deixar a equação, é aquele 4 multiplicando x que está nos atrapalhando. Como podemos nos livrar dele?

Bom, podemos lembrar que 4 x 2 25 = x 2 25 / 4   , então vamos usar isso, aí nossa elipse fica com a equação do jeitinho que gostamos.

x 2 25 / 4 + y 2 1 = 1

Observe que como não temos nenhum número somando ou subtraindo do   x 2 e do y 2 podemos dizer que a elipse é centrada na origem.

A equação geral de uma elipse centrada na origem é x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , e quando temos o número maior embaixo do x   esta é uma elipse com eixo maior no eixo X .

O foco de uma elipse desse tipo é dado por f = ( ± a 2 - b 2 ,   0 )

Como nossa equação é     x 2 25 / 4 + y 2 1 = 1 , temos que f = ( ± 21 / 4 ,   0 )

f = ( ± 21 / 2 ,   0 )

Passo 2

Os vértices de uma elipse centradas na origem e com a > b são: V = ( ± a , 0 )

Então, V = ( ± 5 / 2,0 )

Passo 3

Vamos esboçar essa elipse:

Resposta

V = ( ± 5 / 2,0 )

f = ( ± 21 / 2 ,   0 )

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