Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' = y + x y + 1 2 + 1

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' = y + x y + 1 2 + 1

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar fazer u = y + 1 , já que é um termo que está se repetindo ali na EDO. Como vai ficar?

Passo 2

Bom, se u = y + 1   , temos:

d u d x = d y d x

E aí nossa equação vai ficar:

y ' = y + x y + 1 2 + 1

u ' = u + x u 2

u ' - u = x u 2

E essa é uma equação de Bernoulli, lembra dela? Vamos resolver...

Passo 3

Pra resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição:

w = u 1 - n

E no nosso caso, n = 2 , temos:

w = u - 1 → u = 1 w

d w d x =   - u - 2 d u d x

d u d x = - u 2 d w d x

d u d x = - 1 w 2 d w d x

Substituindo na nossa:

u ' - u = x u 2

- 1 w 2 d w d x - 1 w = x 1 w 2

d w d x + w = - x

Passo 4

Agora chegamos a uma equação linear, vamos resolver, lembrando que a solução é da forma:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1

q x = - x

w = e - ∫ 1   d x ∫ e ∫ 1   d x - x   d x

w = e - x   ∫ - e x x   d x

w = e - x - x e x + e x + C

w = - x + 1 + C e - x

Passo 5

Agora só falta voltar para nossa variável inicial! Voltando primeiro para u .

Lembrando que:

w = 1 u

u = 1 - x + 1 + C e - x

E agora voltando para x   e   y , lembrando que:

u = y + 1

Temos a solução:

y + 1 = 1 - x + 1 + C e - x

y = 1 - x + 1 + C e - x - 1

E terminamos! 😉

Resposta

y = 1 - x + 1 + C e - x - 1

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