Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar transformar ela numa equação separável...

Vamos tentar fazer u = y x 4 ...

Passo 2

Bom, se u = y x 4 , temos:

y = u x 4  

E aí a gente deriva...

d y = x 4 d u + 4 x 3 u   d x

Substituindo isso na nossa EDO...

d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4

d y + - 2 x 5 e y x 4 - 4 x y d x = 0

x 4 d u + 4 x 3 u   d x + - 2 x 5 e u - 4 u x 3 d x = 0

x 4 d u + 4 x 3 u d x - 2 x 5 e u d x - 4 u x 3 d x = 0

d u - 2 x e u   d x = 0

d u = 2 x e u d x

d u e u = 2 x   d x

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u e u = ∫   2 x   d x

- 1 e u = x 2 + C

E como u = y x 4 , temos:

- 1 e y x 4 - x 2 = C

- e - y x 4 - x 2 = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

- e - y x 4 - x 2 = C

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