Enunciado

Use o Teorema de Pappus para calcular o centroide da região triangular com vértices ( 0 ,   0 ) ,   ( a ,   0 ) e ( 0 ,   b ) , onde a   >   0   e b   >   0 . [Sugestão: Gire a região em torno do eixo dos x para obter y - e em torno do eixo dos y para obter x - .]

Passo 1

O Teorema de Pappus diz que, para um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região R :

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

A ideia aqui é que ao girar os triângulos, nós obtemos cones (que a gente sabe calcular o volume). Com o volume dos cones e a área do triângulo, conseguimos achar o centroide usando o teorema.

Vamos refletir como a gente faz isso. Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar descobrindo x - , girando a nossa região em torno de y . Olha nossa região:

O trajeto que o centroide vai fazer é uma circunferência, que tem o raio igual à distância do próprio centroide ao eixo de rotação, o eixo y . Pela figura, a gente vê que esse raio vale x - .

A distância percorrida pelo centroide é o comprimento dessa circunferência, que vale:

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π x -

Passo 3

A área do triângulo que tem base a e altura b é:

A = a b 2

O volume obtido pela rotação desse triângulo em torno de y é um cone de raio a e altura b , logo o volume é:

V = π a 2 b 3

Passo 4

Com tudo calculado, podemos usar:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

π a 2 b 3 = a b 2 ⋅ 2 π x -

Isolando x - :

x - = a 3

Passo 5

A gente faz a mesma coisa para y - , mas girando o triângulo em torno do eixo x :

O raio da trajetória agora é a distância entre o centroide e o eixo x , que vemos que vale y - . Logo o comprimento dessa trajetória, que é a distância percorrida pelo centroide, é:

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π y -

Passo 6

A área do triângulo é a mesma:

A = a b 2

Mas o volume muda. Ele é obtido pela rotação desse triângulo em torno de x ,   e é um cone de raio b e altura a , logo o volume é:

V = π b 2 a 3

Passo 7

Com tudo calculado, podemos usar:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

π b 2 a 3 = a b 2 ⋅ 2 π y -

Isolando x - :

y - = b 3

Com tudo isso, vemos que o centroide está no ponto:

x - , y - = a 3 , b 3

Ufa! Conseguimos!

Resposta

x - , y - = a 3 , b 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a parte 1 do teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função: y = ∫ 0 t g x t + td t
19 – 44 Calcule a integral.19. ∫ 1 3 x 2 + 2 x - 4 d x
19 – 44 Calcule a integral.21. ∫ 0 2 4 5 t 3 - 3 4 t 2 + 2 5 t d t
7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.17. y = ∫ x π / 4 θ tg ⁡ θ d θ
Avalie a integral. ∫ π 6 π sen ⁡ θ d θ