Enunciado

Use o Teorema de Pappus para calcular o volume do sólido gerado quando a região envolvida por y   =   x 2 e y   =   8   -   x 2 é girada em torno do eixo x .

Passo 1

O Teorema de Pappus diz que, para um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região R :

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Queremos achar o volume desse sólido a partir desse teorema.

Vamos refletir como a gente faz isso. Vem comigo!

Passo 2

Temos uma região que vai ser girada em torno do eixo x . Para calcular o volume do sólido que vai surgir, pelo Teorema, precisamos entender como calcular a distância percorrida pelo centroide nessa rotação.

Agora pensa comigo: a trajetória do centroide é uma circunferência. E o raio dela é igual à distância do centroide até o eixo de rotação, no nosso caso o eixo x .

Pelo gráfico da figura, vemos que ela simétrica em relação ao eixo y e a reta y = 4 . Por isso, o centroide é:

x - ,   y - = 0,4

Então, a distância do centroide até o eixo de rotação, o eixo x , é 4 . Esse vai ser o raio da trajetória que o centroide vai fazer durante a rotação.

Passo 3

A distância percorrida pelo centroide é o comprimento da trajetória, que é uma circunferência. Logo, é só a gente calcular o comprimento da circunferência de raio 4 :

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π 4 = 8 π

Passo 4

Precisamos da área da região. Vamos precisar usar uma integral. A região está limitada superiormente pela função y = 8 - x 2 e inferiormente pela equação y = x 2 .

Para descobrir os extremos de integração precisamos achar as interseções entre essas duas curvas:

y = 8 - x 2 ,   y = x 2

8 - x 2 = x 2 ∴ x = ± 2

a = - 2 ,   b = 2

Então, podemos calcular a área pela integral:

A = ∫ - 2 2 8 - x 2 - x 2 d x = ∫ - 2 2 8 - 2 x 2 d x = 64 3

Passo 5

Com tudo calculado, podemos usar:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

v o l u m e = 64 3 ⋅ 8 π = 512 π 3

Arrasamos!

Resposta

v o l u m e = 512 π 3

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Temos F x = ∫ 2 x e t 2 d t . Encontre uma equação da reta tangente para a curva y = F ( x ) no ponto da coordenada x = 2 .
7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.8. g x = ∫ 1 x ln ⁡ 1 + t 2 d t
7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.8. h u = ∫ 0 u t t + 1 d t
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7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.8. R y = ∫ y 2 t 3 sen ⁡ t d t