Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 2 cos 3 theta

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de theta :

r (theta) = 2 cos 3 theta

Vamos calcular para 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = 2 cos ( 3 * 0 ) = 2

r ((pi)/(2)) = 2 cos (3 * (pi)/(2)) = 2 cos ((3 pi)/(2)) = 0

r (pi) = 2 cos ( 3 pi ) = - 2

r ((3 pi)/(2)) = 2 cos (3 * (3 pi)/(2)) = 2 cos ((9 pi)/(2)) = 0

r (2 pi) = 2 cos ( 6 pi ) = 2

Passo 3

Agora precisamos saber como a função se comporta entre esses ângulos, para isso vamos analisar a função r = 2 cos 3 theta .

Como o 2 é só uma constante multiplicando, vamos analisar somente o cos 3 theta e no gráfico dobramos todos os valores.

A análise vai ser um pouco complicada, já que temos o 3 como multiplicativo no argumento, teremos que fazer uma análise dando 3 voltas no círculo trigonométrico, mas tente pensar que se andarmos um quadrante é como se estivéssemos andando 3 quandrantes, por isso os valores vão se alterar bastante.

Com theta entre 0 e (pi)/(2) o argumento do cosseno varia de 0 à (3 pi)/(2) , como temos o multiplicativo 3 no argumento, neste intervalo o valor do cosseno varia de 1 à 0, depois vai até - 1 e retorna ao 0 .

Utilizando a mesma idéia, para theta entre (pi)/(2) e pi , o argumento do cosseno vai de (3 pi)/(2) até 3 pi , e neste intervalo o valor do cosseno vai de 0 até 1 e depois volta ao 0 e depois vai até - 1 .

De theta entre pi até (3 pi)/(2) o argumento varia de 3 pi à (9 pi)/(2) e o valor do cosseno vai de - 1 à 0 depois vai até 1 e retorna ao 0 . Finalmente com theta entre (3 pi)/(2) e 2 pi o argumento varia de (9 pi)/(2) a 6 pi e o valor do cosseno vai de 0 até - 1 e então volta ao 0 e por fim vai até o 1 .

Bem chatinho né? Mas vamos lá, tá terminando. Neste caso não faz diferença se desconsiderarmos os valores negativos de r , porque se você observar nesses pontos é como se a curva sobreposse outra e acaba ficando a mesma coisa. Deseenhando o gráfico fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o prametro aumenta. x = 1 2 cos ⁡ θ ,y = 2 sen ⁡ θ ,
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = c o s 5 θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 - c o s θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 + 2 c o s θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 3 + 4 c o s θ