Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 2 (1 - sen theta) , theta >= 0

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de theta :

r (theta) = 2 - 2 sen theta

Vamos calcular para 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = 2 - 2 sen 0 = 2 - 0 = 2

r ((pi)/(2)) = 2 - 2 sen (pi)/(2) = 2 - 2 = 0

r (pi) = 2 - 2 sen pi = 2 - 0 = 2

r ((3 pi)/(2)) = 2 - 2 sen (3 pi)/(2) = 2 - 2 (- 1) = 2 + 2 = 4

r (2 pi) = 2 - 2 sen (2 pi) = 2 - 0 = 2

Passo 3

Agora precisamos saber como a função se comporta entre esses ângulos, para isso vamos analisar a função r = 2 - 2 sen theta , analisando primeiramente o sen theta depois a função por completo.

Com theta entre 0 e (pi)/(2) para descobrir a variação do sen theta basta substituir os valores, portanto ele varia de 0 à 1 , para saber a variação de r é a mesma ideia, então r varia de 2 à 0 .

Utilizando a mesma idéia, para theta entre (pi)/(2) e pi , o r varia de 0 até 2 , para theta entre pi e (3 pi)/(2) , o r varia de 2 até 4 e para theta entre (3 pi)/(2) e 2 pi , o r varia de 4 até 2 .

Desta forma o nosso gráfico começa com uma angulação de 0 à uma distancia de 2 da origem e até 90 º ou (pi)/(2) essa distancia diminui até 0 , até pi ela aumenta de novo ate 2 , até (3 pi)/(2) ela aumenta mais ainda para 4 e diminui até retornar à 0 ou 2 pi para 2 .

Desenhando no plano fica algo assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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