Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 2 cos ⁡ 4 θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 2 cos ⁡ 4 θ

Nas equações polares o r representa a distância do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Queremos esboçar esse gráfico.

Então como faremos isso???

Bom... Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido...

Então vamos colocar alguns valores para θ e substituir na equação a fim de analisarmos o seu comportamento!! 😉

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de θ :

r θ = 2 cos ⁡ 4 θ

Vamos calcular para θ = 0 :

r 0 = 2 cos ⁡ 4 ⋅ 0

r 0 = 2

Para θ = π 2 :

r π 2 = 2 cos ⁡ 4 ⋅ π 2

r π 2 = 2 cos ⁡ 2 π

r π 2 = 2

Para θ = π :

r π = 2 cos ⁡ 4 π

r π = 2

Para θ = 3 π 2 :

r 3 π 2 = 2 cos ⁡ 4 ⋅ 3 π 2

r 3 π 2 = 2 cos ⁡ 6 π

r 3 π 2 = 2

Para θ = 2 π :

r 2 π = 2 cos ⁡ 8 π

r 2 π = 2

Passo 3

Agora precisamos saber como a função se comporta entre esses ângulos, para isso vamos analisar a função r = 2 cos ⁡ 4 θ .

Como o 2 é só uma constante multiplicando, vamos analisar somente o cos ⁡ 4 θ   e no gráfico dobramos todos os valores.

A análise vai ser um pouco complicada, já que temos o 4 como multiplicativo no argumento, teremos que fazer uma análise dando 4 voltas no círculo trigonométrico, uma volta no cosseno por quadrante do plano.

Em todos os quadrantes é como se tivéssemos dando uma volta completa, é só pensar que em uma variação de 0 até π 2 se multiplicarmos por 4 é uma volta de 0 à 2 π .

Portanto para todos os quadrantes o comportamento será o mesmo e o valor do cosseno vai seguir o seguinte padrão, vai começar em 1 e então vai até 0 , depois vai a - 1 , volta ao 0 e por fim retorna ao 1 .

Analisando os valores os valores negativos da função estarão sempre no centro do quadrante, então um gráfico desconsiderando esses valores seria assim:

Mas se considerarmos esses valores, cada quadrante teria uma curva oposta que compensaria essa espaço do quadrante “perdido” pelo seu oposto e ficaria assim:

Resposta

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