Enunciado

Faça um gráfico de diversos membros de uma família de curvas com equações paramétricas x = t + a cos ⁡ t , y = t + a   s e n   t , onde a > 0. Como muda o formato quando a aumenta? Para quais valores de a curva tem pontos de mínimo?

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a família de curvas:

x = t + a cos ⁡ t

y = t + a   s e n   t

E com o auxílio de um software gráfico deveremos responder as duas perguntas da atividade.

Eu estarei utilizando o Desmos para plotarmos a curva, mas sinta-se a vontade para escolher o seu software preferido.

Passo 2

Quando a está próximo de 0 , é como a linha y = x . Ela adquire partes pontiagudas à medida que a começa a aumentar.

Em algum lugar entre a   =   1.41 e 1.42 laços estreitos e muito pequenos começam a se formar em partes que parecem pontiagudas. (visíveis apenas se você conseguir ampliar bastante)

Conforme a aumenta, os laços aumentam de tamanho.

Está curva só começara a ter valores de mínimo quando os loops começarem, caso contrário ela não tem valores de mínimo. E isso começa a acontecer a partir de a = 1,4 , mas é válido lembrar que nunca teremos um mínimo global pois o tamanho dos loops para cada valor de a , se mantém os mesmos, só teremos mínimos locais.

Resposta

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Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = cos ⁡ θ 3 , θ = π
Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + 2 cos ⁡ θ , θ = π / 3
Mostre que a equação polar r = a s e n θ + b c o s θ , onde a b ≠ 0 , representa um círculo, e encontre seu centro e seu raio.
A figura mostra o gráfico de r em função de θ nas coordenadas cartesianas. Use-a para esboçar o gráfico polar correspondente
Esboce a curva com a equação polar dada, esboçando primeiro o gráfico de r em função de θ nas coordenadas cartesianas. r 2 = c o s 4 θ