Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 2 cos ((3 theta)/(2))

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente vamos calcular a função para alguns valores de theta

r ( theta ) = 2 cos ((3 theta)/(2))

Utilizando os valores 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = 2 cos ((3 * 0)/(2)) = 2 cos 0 = 2

r ((pi)/(2)) = 2 cos ((3 * (pi)/(2))/(2)) = 2 cos ((3 pi)/(4)) = 2 * (- (sqrt(2))/(2)) = - sqrt(2)

r (pi) = 2 cos ((3 pi)/(2)) = 0

r ((3 pi)/(2)) = 2 cos ((3 * (3 pi)/(2))/(2)) = 2 cos ((9 pi)/(4)) = 2 * (sqrt(2))/(2) = sqrt(2)

r (2 pi) = 2 cos ((3 * 2 pi)/(2)) = 2 cos ( 3 pi ) = - 2

Passo 3

Analisando agora entre esses valores. Como o 2 é só uma constante multiplicando o cosseno, vamos analizar os valores do cosseno, depois dobramos tudo no gráfico.

No primeiro quadrante o argumento do cosseno vai variar de 0 até (3 pi)/(4) , neste intervalo o cosseno assume os seguintes valores: inicia em 1 e diminui pra 0 e pra - sqrt(2) .

No segundo quadrante o argumento varia de (3 pi)/(4) a (3 pi)/(2) e o valor do cosseno vai de - sqrt(2) até - 1 depois sobe até 0 . No terceiro quadrante o argumento varia de (3 pi)/(2) a (9 pi)/(4) e o valor do cosseno vai de 0 até 1 depois desce até sqrt(2) . E no quarto o argumento varia de (9 pi)/(4) a 3 pi e o valor do cosseno vai de sqrt(2) até 0 depois sobe até 1 .

Passando isso pro gráfico, considerando os valores negativos de r como uma distancia no sentido oposto:

Se desconsiderarmos os valores negativos, o gráfico vai ficar assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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