Enunciado

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ   em coordenadas cartesianas.

r 2 = 9   s e n   2 θ

Passo 1

Então meu querido e amado estudante, pronto para mais uma resolução?

Aqui a gente precisa esboçar a curva dada, porém essa curva é dada em coordenadas polares, então o que a questão quer que a gente faça é tratar ela como se ela fosse em coordenadas cartesianas.

É como se a função fosse na verdade:

y = 9 sin ⁡ 2 x

Já para encontrarmos os gráficos no plano polar e no plano cartesiano nós iremos criar uma tabela com diversos pontos para θ e seu respectivo valor de r .

Quando esboçamos curvas polares, às vezes é útil aproveitar a simetria.

  1. Se uma equação polar não se altera quando θ é substituído por - θ , a curva é simétrica em relação ao eixo polar.
  2. Se a equação não se altera quando r é substituído por - r , ou quando θ é substituído por θ   +   π , a curva é simétrica em relação ao polo. (Isso significa que a curva permanece inalterada se a girarmos 180 ° em torno da origem.)
  3. Se a equação não se altera quando θ é substituído por π   -   θ , a curva é simétrica em relação à linha vertical θ   =   π / 2 .

Passo 2

Vamos então a nossa tabela:

A gente vai ter então como nossa figura:

Passo 3

Com essa tabela em mãos vamos fazer os testes a ,   b ,   c do passo 1:

r 2 = 9 sin ⁡ 2 θ

Substituindo por - θ :

r 2 = 9 sin ⁡ - 2 θ

Como a função seno ímpar, então o que temos é:

r 2 = - 9 sin ⁡ 2 θ

Então a nossa figura não é simétrica em torno do eixo polar.

Vamos para o teste b :

- r 2 = 9 sin ⁡ 2 θ

Isso não altera o resultado, então nossa figura é simétrica em relação ao polo.

Agora vamos ao teste c :

r 2 = 9 sin ⁡ 2 π - θ

r 2 = 9 sin ⁡ 2 π - 2 θ

Utilizando a fórmula de subtração de seno de ângulos:

r 2 = 9 sin ⁡ 2 π cos ⁡ 2 θ - cos ⁡ 2 π ∙ sin ⁡ 2 θ

r 2 = 9 0 - sin ⁡ 2 θ

r 2 = - 9 sin ⁡ 2 θ

Sendo assim, nossa figura é apenas simétrica em relação ao polo. Abaixo vamos a seu esboço.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 24 a 28, encontre uma curva geratriz e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície 28. x 2 + y 2 = - ln ⁡ z
Nos exercícios 24 a 28, encontre uma curva geratriz e o eixo da superfície de revolução dada. Faca um esboço da superfície 26. z 4 - 16 x 2 = 16 y 2
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta x = t 3 + t y = t 2 + 2 - 2 ≤t ≤ 2
Os Exercícios 1-18 fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro para o movimento de uma partícula no plano xy. Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para e