Enunciado

Nos exercícios 24 a 28, encontre uma curva geratriz e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície

28.

x 2 + y 2 = - ln ⁡ z

Passo 1

Oiii a todos que estão ingressando no mundo do cálculo de várias variáveis. Quando aprendemos a fazer gráficos em cálculo 1, aprendemos vários truques. Inclusive, se você já está mais sagaz, de olhar para uma função e concluir “ah isso aqui, tem um jeito de círculo”, por exemplo, rs. Se você ainda não pegou essa sagacidade, relaxe! Isso vem apenas com o tempo e após vários exercícios.

Uma dica que dou é usar muito uma calculadora gráfica. Isso ajuda absurdamente na compreensão da geometria do seu sistema.

Passo 2

Primeiramente, temos que prestar atenção ao que estamos digitando na nossa calculadora gráfica, afinal

x 2 + y 2 = - ln ⁡ z

Não é possível renderizar graficamente. Mais apropriado seria

z = e - x 2 + y 2

Essa função sim temos como trabalhar. Plotando esse gráfico obtemos

Que é uma gaussiana. Ela funciona assim : plana para toda a vida e tem um calombo perto do zero. Lembra de quando fizemos o seguinte quando estávamos em 2D que riamos ir para 3D

V a r i a v e l   e i x o = V a r i a v e l   I n d e p e n d e n t e   2 + V a r i a v e l   I n d e p e n d e n t e   2

Isso vai ser útil para guiar a gente agora. Percebe só. Pelo gráfico, podemos ver que o eixo de simetria é o z. Então poderíamos fazer

z = e - x 2 + y 2

E dizer que nossa curva original era

z = e - x 2

Ou

z = e - y 2

E rotacionamos em z.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

z = e - x 2

Ou

z = e - y 2

E rotacionamos em z.

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Esboce a curva com a equação dada. r = 2 cos ⁡ 3 θ
Esboce a curva com a equação dada. r = 2 cos ⁡ 4 θ
Esboce a curva com a equação dada. r = 1 - 3 cos ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r = 3 cos ⁡ 6 θ
A figura mostra o gráfico de r como uma função de θ em coordenadas cartesianas. Use-o para esboçar a curva polar correspondente.