Enunciado

Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.

f ' 0 = f ' 4 = 0 , f ' x = 1 para x < - 1 .

f ' x > 0 para 0 < x < 2 .

f ' x < 0 para - 1 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 4 .

lim x → 2 - ⁡ f ' ( x ) = ∞ , lim x → 2 + ⁡ f ' ( x ) = - ∞

f ' ' x > 0 para - 1 < x < 2 ou 2 < x < 4 .

f ' ' x < 0 para x > 4 .

Passo 1

O enunciado pede pra a gente esboçar um gráfico de uma função desconhecida e nos da as seguintes informações:

f ' 0 = f ' 4 = 0 ,

f ' x = 1 para x < - 1 .

f ' x > 0 para 0 < x < 2 .

f ' x < 0 para - 1 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 4 .

lim x → 2 - ⁡ f ' ( x ) = ∞ , lim x → 2 + ⁡ f ' ( x ) = - ∞

f ' ' x > 0 para - 1 < x < 2 ou 2 < x < 4 .

f ' ' x < 0 para x > 4 .

O que temos nas nossas mãos é um grande quebra cabeça! Antes de qualquer coisa precisamos lembrar que a derivada primeira,  f ' ( x ) indica se a função é crescente ou decrescente. Já a derivada segunda vai nos falar se a concavidade é pra cima ou pra baixo!

Obviamente, com apenas essas informações, vamos ter soluções infinitas! Então é hora de colocar a criatividade pra jogo!

Passo 2

Vamos fazer esse exercício analisando as condições separadamente. Mas não precisa ser na ordem, vamos olhar e tentar pescar qual a condição que nos dá a informação inicial mais interessante!

De cara a gente pode ver:

lim x → 2 - ⁡ f ' ( x ) = ∞ , lim x → 2 + ⁡ f ' ( x ) = - ∞

Isso significa que teremos duas assíntotas verticais em x = 2 . Vamos nos concentrar em uma primeiro e depois vamos pra outra, ok?!

Pensando na primeira assíntota, quando nos aproximamos de 2 pela esquerda. Vamos tentar pescar mais condições onde o intervalo é próximo de 2 - , isso pode nos ajudar a ter uma imagem mais rápida:

f ' x > 0 para 0 < x < 2

f ' ' x > 0 para - 1 < x < 2 ou 2 < x < 4

A nossa função será crescente entre 0 e 2 , o que casa com a informação da assíntota, afinal quando nos aproximamos de 2 pela esquerda vamos para infinito. Além disso entre - 1 e 2 temos uma concavidade pra cima. Já podemos começar a rascunhar:

Passo 3

Agora vamos focar na segunda assíntota, olhamos então para as seguintes condições:

lim x → 2 + ⁡ f ' ( x ) = - ∞

f ' x < 0 para - 1 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 4 .

f ' ' x > 0 para - 1 < x < 2 ou 2 < x < 4

No intervalo ( 2,4 ) a função será decresce com concavidade pra cima. Assim:

Passo 4

Agora vamos olhar condições onde x ≥ 4 :

f ' 0 = f ' 4 = 0 ,

f ' x < 0 para - 1 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 4 .

f ' ' x < 0 para x > 4 .

Eem 4 ,   ∞ a função será decrescente e em x = 4 temos:

f ' 0 = f ' 4 = 0 ,

Opa, a derivada é igual a zero. Mas não podemos ter um ponto de máximo ou mínimo, uma vez que antes e depois desse ponto a função é decrescente. Logo temos um ponto de inflexão. Juntando essas informações ao nosso gráfico:

Passo 5

Agora vamos olhar pra x ≤ 0 :

f ' 0 = f ' 4 = 0

f ' x = 1 para x < - 1 .

f ' x < 0 para - 1 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 4 .

f ' ' x > 0 para - 1 < x < 2 ou 2 < x < 4 .

Entre - 1 e 0 temos uma função decrescente com concavidade pra cima, mas isso a gente já aplicou ao gráfico. Podemos ignorar!

Temos uma derivada constante pra x < - 1 . Podemos tirar a seguinte conclusão. Se:

f ' x = 1

Então:

f x = x

Afinal, se derivarmos x teremos f ' = 1 . Aplicando ao nosso gráfico teremos:

Vamos ajustar esse gráfico pra ficar tudo coladinho:

Em f ( 0 ) temos um mínimo local, conforme as nossas condições!

Resposta

Nas condições que selecionamos ali em cima também temos que f ( x ) é decresente em ( 2,4 ) e

Quando a derivada primeira é igual a zero, temos um ponto crítico, que pode ser um máximo ou mínimo local, por exemplo. Olhando as nossas condições temos:

f ' 0 = f ' 4 = 0

Vamos fazer esse exercício analisando as condições separadamente. Da primeira condição temos duas assíntotas horizontais em x = 0 e x = 4 já que f ' 0 = f ' ( 4 ) = 0 . Ainda da primeira condição, temos f ' x = 1 para x < - 1 , o que indica que essa parte do gráfico é uma reta com inclinação constante 1.

Da segunda condição como f ' x > 0 para 0 < x < 2 , sabemos que f é crescente no intervalo 0,2 . Da mesma forma, da terceira condição, f ' x < 0 no intervalo - 1 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 4 indica que f é decrescente nos intervalos ( - 1,0 ) , ( 2,4 ) , ( 4 , ∞ ) .

Passo 3

Da quarta condição, dos limites, sabemos que o ponto x = 2 não está no domínio da função, e a função se aproxima de maneira crescente pela esquerda e decrescente pela direita.

Da quinta condição temos f ' ' x > 0 para - 1 < x < 2 ou 2 < x < 4 , o que indica que a função é côncava para cima nos intervalos - 1,2 e ( 2,4 ) .

E, finalmente, da sexta condição, f ' ' x < 0 para x > 4 , a função será côncava para baixo no intervalo 4 , ∞ .

A imagem a seguir ilustra um gráfico que atende as condições do enunciado.

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