Enunciado

5-Considere a superfície z = f ( x ,   y ) , onde:

f x ,   y = 8 - x 2 - y 2 ,     x 2 + y 2 ≤ 4 4 ,     x 2 + y 2 ≥ 4

Pede-se:

a)As interseções da superfície com os planos z = 8 ,   z = 6 ,   z = 0 ,   x = 0 e y = 0 .

Passo 1

a)Para z = 8 :

Galerinha, aqui nós temos que ver em qual intervalo que z varia. Nós temos que:

z = 8 - x 2 - y 2

- z - 8 = x 2 + y 2

Mas, nós sabemos que:

x 2 + y 2 ≤ 4

Assim,

z - 8 ≥ - 4

z ≥ 4

Ok, nós concluímos que z tem que ser maior que 4 , mas nós sabemos que maior valor que ele pode atingir é 8 (nosso vértice), né ?! Portanto, z varia nesse intervalo:

[ 4,8 ]

Mas afinal, a que conclusão chegamos com tudo isso ????

Bommm, quando z varia no intervalo acima nós temos que usar a seguinte expressão:

z = 8 - x 2 - y 2

Logo,

8 = 8 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 0

Caraaaa, nós temos uma soma de quadrados, a única forma disso dar zero é o x e y valendo zero, né ?!

Isso quer dizer que a interseção da superfície com o plano z = 8 nos dá um ponto: 0,0 , 8 .

Para z = 6 :

Lembra que no item acima nós descobrimos que se z está contido nesse intervalo [ 4,8 ] nós temos que usar a seguinte expressão:

z = 8 - x 2 - y 2

Substituindo z = 6 :

- 2 = - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 2

O que temos aqui ???? Uma circunferência de raio 2 .

Passo 2

Para z = 0 :

Gente, o z está contido nesse intervalo: [ 4 ,   8 ] , isso quer dizer que para z = 0 nós não temos nada. Portanto, a interseção é vazia.

Para x = 0 :

Galerinha, aqui nós só temos que zerar os x ' s que nós temos.

Para a primeira expressão:

8 - y 2 ,   y 2 ≤ 4

8 - y 2 ,   y ≤ 2

Gentee, lembra que antes a nossa expressão estava definida para uma circunferência de raio 2 . Isso quer dizer que mesmo zerando o x nós não podemos admitir valores negativo para o raio, por isso colocamos o módulo, ok?

Para a segunda expressão:

4 ,   y ≥ 2

Assim,

z ( y ) = 8 - y 2 ,     y ≤ 2 4 ,     y ≥ 2

Logo, a interseção nesse caso é o gráfico da função:

z ( y ) = 8 - y 2 ,     y ≤ 2 4 ,     y ≥ 2

Para y = 0 :

Galerinha, aqui nós só temos que zerar os y ' s que nós temos.

Para a primeira expressão:

8 - x 2 ,   x ≤ 4

8 - x 2 ,   x ≤ 2

Para a segunda expressão:

4 ,   x ≥ 2

Assim,

z ( x ) = 8 - x 2 ,     x ≤ 2 4 ,     x ≥ 2

Logo, a interseção nesse caso é o gráfico da função:

z ( x ) = 8 - x 2 ,     x ≤ 2 4 ,     x ≥ 2

Resposta

a)No plano z = 8 é o ponto ( 0,0 , 8 ) , no plano z = 6 é uma circunferência de equação x 2 + y 2 = 2 , no plano z = 0 vazia, no plano x = 0 é o gráfico da função: z ( y ) = 8 - y 2 ,     y ≤ 2 4 ,     y ≥ 2

no plano y = 0 é o gráfico da função: z ( x ) = 8 - x 2 ,     x ≤ 2 4 ,     x ≥ 2

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