Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x 3 - x ,   y = 3 x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada utilizando a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximante. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas. Para isso, iremos igualar as equações

y = x 3 - x

y = 3 x

x 3 - x = 3 x

x x 2 - 4 = 0

Dessa forma, ou x = 0 ou x = 2 ou x = - 2 . Podemos esboçar a curva

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ - 2 2 3 x - x 3 - x d x  

Aqui vamos usar o módulo por que queremos saber a área da região sombreada. Pela figura podemos ver que a área do lado direito é igual a área do lado esquerdo, assim

A = 2 ∫ 0 2 3 x - x 3 - x d x

A = 2 ∫ 0 2 4 x - x 3 d x   = 2 4 x 2 2 - x 4 4 0 2 = 8

Resposta

A = 8

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