Enunciado

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = sen ⁡ x   e   y = - sen ⁡ x ,   x ∈ 0,2 π

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Percebam que temos duas regiões limitadas por ambas às curvas. Para a região de 0 ≤ x ≤ π , a curva y = sen ⁡ x está acima da curva y = - sen ⁡ x . Já no caso da região π ≤ x ≤ 2 π , temos o contrário. Portanto, precisamos levar este fato em consideração na hora de montarmos a nossa integral. Desta forma, temos:

A = ∫ 0 π sen ⁡ x - - sen ⁡ x d x + ∫ π 2 π - sen ⁡ x - sen ⁡ x d x

A = ∫ 0 π 2 sen ⁡ x d x + ∫ π 2 π - 2 sen ⁡ x d x

Podemos ir mais além. Como ambas as regiões são iguais, podemos transformar as nossas integrais em apenas 1. Basta fazermos:

A = 2 ∫ 0 π 2 sen ⁡ x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 0 π 2 sen ⁡ x d x

- 2 cos ⁡ x 0 π = 4

Portanto, a área da nossa região é:

A = 2 ⋅ 4 = 8 u . a .

Resposta

A = 8   u . a .

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