Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x 2 - 2 x ,   y = x + 4

Passo 1

Vamos por partes que aqui tem trabalho, hein? Primeiramente, esboçar a região delimitada pelas curvas. Tá, mas como faz isso? Assim:

Olha, tem funções que de cara já da pra saber o que ela vai ser. Por exemplo, a função y = x 2 - 2 x , é uma função polinomial e com coeficiente angular maior que 0, ou seja, para cima.

Já a função y = x + 4 , é uma função afim e com coeficiente angular maior que 0, ou seja, crescente.

Porém, não sabemos os pontos de interseção. Vamos descobrir!!

x 2 - 2 x = x + 4

x 2 - 2 x - x = 4

x 2 - 3 x - 4 = 0

A gente bate o olho nessa equação e pensa “Hmm, fórmula de bhaskara”, mas o objetivo aqui é facilitar né não? Vamos reescrever a equação:

( x + 1 ) ( x - 4 ) = 0

Logo, temos que x = - 1   e   x = 4 .

Então, o nosso gráfico vai ser desse jeitinho:

Se extrairmos uma parte desse retângulo, vamos ter que a altura será a diferença entre as curvas e a largura será a variação de x. Assim:

Okay? Agora é só calcularmos a área!!

Passo 2

Assim, temos:

A = ∫ - 1 4 [ x + 4 - x 2 - 2 x ] d x

A = ∫ - 1 4 [ - x 2 + 3 x + 4 ] d x

Daí é só calcular a integral normalmente!!

A = - 1 3 x 3 + 3 2 x 2 + 4 x - 1 4

A = - 1 3 4 3 + 3 2 4 2 + 4 ( 4 ) - - 1 3 - 1 3 + 3 2 - 1 2 + 4 ( - 1 )

A = - 64 3 + 24 + 16 - 1 3 + 3 2 - 4

A nossa integral é

A = 125 6

Resposta

A = 125 6

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