Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = x , y = 1 2 x , x = 9

Passo 1

Para esse caso, primeiro vamos achar a interseção das duas primeiras equações, para depois achar onde ela é delimitada por x = 9 .

Com isso, temos

x = 1 2 x

x 1 = 0   e   x 2 = 4  

O nosso gráfico fica assim:

Então vamos integrar duas regiões: a primeira região vai de x = 0 até x = 4 ; e a segunda região vai de x = 4 até x = 9

Passo 2

Organizando a integral, temos:

A = ∫ 0 4 ( x - 1 2 x ) d x + ∫ 4 9 ( 1 2 x - x ) d x

Resolvendo...

A = 2 3 x 3 / 2 - x 2 4 0 4 + x 2 4 - 2 3 x 3 / 2 4 9

A = 2 3 4 2 3 - 4 2 4 - 2 3 0 2 3 + 0 2 4 + 9 2 4 - 2 3 9 2 3 - 4 2 4 - 2 3 4 2 3

A = 16 3 - 4 - 0 + 0 + 81 4 - 18 - 4 - 16 3

A = 81 4 + 32 3 - 26

A = 59 12

Então, isso resultará em:

A = 59 12

Prontinho!!

Resposta

A = 59 12

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