Enunciado

Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.

23. y = co s ⁡ x ,     y = 1 - 2 x / π

Passo 1

Esboçando as curvas vamos ter que a área entre elas é essa:

Podemos realizar as integrações em relação a x para calcular a área desejada, então o retângulo vai ficar dessa forma:

Aquele tamanho y vai ser a diferença entre cos ⁡ x e 1 - 2 x π , entre 0 e π 2 , e a diferença entre 1 - 2 x π e cos ⁡ x , entre π 2 e π . Porém a área da parte positiva de y e da parte dnegativa de y tem a mesma área, pela simetria do desenho, então, parar calcular a área total só precisamos integrar a área de 0 até π 2 e multiplicar essa área por 2:

A = 2 ⋅ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x - 1 - 2 x π d x

A integral de uma soma é igual a soma das integrais:

A = 2 ⋅ ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x - ∫ 0 π 2 1 - 2 x π d x

A integral do cosseno é o seno, e a interal de um polinômio é fácil de calcular, só aumentar um no expoente e dividir pelo expoente:

A = 2 ⋅ s en ⁡ x 0 π 2 - 2 ⋅ x - x 2 π 0 π / 2

Aplicando os limites de integração:

A = 2 ⋅ sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 - 2 ⋅ π 2 - π 2 2 π - 0

A = 2 ⋅ 1 - 0 - 2 ⋅ π 2 - π 4

A = 2 - π 2

Resposta

A = 2 - π 2

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ).e) θ = π 4
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). m ) ρ 2 = tan ⁡ θ ,0 ≤ θπ 2( ρ ≥ 0 )
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). j ) ρ = 1 - sin ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). n ) ρ 2 = tan ⁡ 2 θ ,0 ≤ θπ 4( ρ ≥ 0 )
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). l ) ρ = cos ⁡ 4 θ