Enunciado

Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.

12. y = x ,     y = x 3

Passo 1

Esboçando as curvas vamos ter isso:

Perceba que a área entre as funções na parte negativa é igual a área entre as funções na parte positiva, então podemos simplesmente integrar a parte positiva e multiplicar essa área por 2.

Poemos realizar a integração em relação a x dessa forma:

Aquele tamanho y vai ser a diferença entre x 3 e x , então a integral para descobrir a área fica:

A = 2 ⋅ ∫ 0 1 ( x 3 - x ) d x

Podemos separar em duas integrais e reescrever a raiz:

A = 2 ∫ 0 1 x 1 / 3 d x - ∫ 0 1 x d x

A = 2 3 4 x 4 / 3 - x 2 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

A = 2 3 4 1 3 / 4 - 1 2 2

A = 2 3 4 - 1 2

A = 1 2

Resposta

A = 1 2

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y = 2 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do circulo x 2 + y 2 ≤ 1 em torno da reta x + y = 2
35–40 Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.35. ∫ - 1 2 1 - x d x
Calcule a integral, interpretando-a em termo de áreas. ∫ 0 9 1 3 x - 2 d x
Determine o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 e y ≥ 0 .