Enunciado

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

E l i p s e ,         e x c e n t r i c i d a d e   0,8   ,         v é r t i c e   1 , π 2

Passo 1

Beleza, galera? Bora achar uma equação polar pra essa elipse? As possíveis fórmulas pra cônicas são essas:

r = e d 1 ± e cos ⁡ θ         o u         r = e d 1 ± e   s e n   θ

Se soubéssemos a equação da reta diretriz, poderíamos determinar qual dessas fórmulas usar. Mas, não sabemos, só temos a excentricidade, o vértice e o foco (na origem).

Uma informação que ele nos deu foi a localização do vértice, mas em coordenadas polares. Vamos passar pra coordenadas retangulares:

x = r cos ⁡ θ = 1 cos ⁡ π 2 = 0

y = r   s e n   θ = 1   s e n π 2 = 1

Então temos a nova informação de que um dos vértices está no ponto 0 ,   1 , mas como usaremos isso?

Passo 2

Repare que tanto um dos focos 0 ,   0 como um dos vértices ( 0 ,   1 ) estão no eixo y , o que significa que o eixo maior da elipse é vertical. Quando isso acontece, nós usamos a fórmula com s e n   θ , e é interessante que você guarde isso na memória. Talvez o esqueminha a seguir te ajude a guardar isso:

e l i p s e   c o m   e i x o   m a i o r   v e r t i c a l → e i x o   y → y = r   s e n   θ → f ó r m u l a   c o m   s e n   θ

e l i p s e   c o m   e i x o   m a i o r   h o r i z o n t a l → e i x o   x → x = r cos ⁡ θ → f ó r m u l a   c o m cos ⁡ θ

Voltando ao nosso caso, nossa equação vai ser do tipo:

r = e d 1 ± e   s e n   θ

Como temos as coordenadas polares do vértice, podemos substituir esses valores pra encontrar o valor de d , já que sabemos que e = 0,8 , beleza?

r ,   θ = 1 , π 2

  1 = 0,8   d 1 ± 0,8   s e n π 2

0,8   d = 1 ± 0,8

d = 1,8 0,8         o u         d = 0,2 0,8

d = 2,25           o u           d = 0,25

Passo 3

Você pode estar achando estranho termos chegado a dois resultados diferentes para d , né? Mas nesse caso, é bem razoável, pois apenas um foco e um vértice não determinam completamente uma elipse, precisaríamos de mais um vértice ou mais um foco para tal. Então as possíveis equações ficarão assim, substituindo seus respectivos valores de d :

r = 0,8   .   2,25 1 + 0,8 sen ⁡ θ         o u         r = 0,8   .   0,25 1 - 0,8   s e n   θ

r = 1,8 1 + 0,8 sen ⁡ θ         o u         r = 0,2 1 - 0,8   s e n   θ

r = 9 5 + 4 sen ⁡ θ         o u         r = 1 5 - 4   s e n   θ

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Resposta

r = 9 5 + 4 sen ⁡ θ         o u         r = 1 5 - 4   s e n   θ

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