Enunciado

Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.

x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Note que agora foi dado x como função de y , então o comprimento será achado fazendo uma integral na variável y :

L = ∫ a b 1 + d x d y 2   d y

Assim, precisamos derivar x com relação a y !

Passo 2

Derivando x com relação a y :

d x d y = 1 + 3 y 2 ⇒ 1 + d x d y 2 = 1 + 1 + 3 y 2 2 = 2 + 6 y 2 + 9 y 4

Assim,

L = ∫ 0 1 2 + 6 y 2 + 9 y 4   d y

Como só foi pedido para escrever a integrar e não calculá-la, terminamos por aqui!

Resposta

L = ∫ 0 1 2 + 6 y 2 + 9 y 4   d y

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Ache o comprimento do arco da parábola y 2 = 6 x de x = 6 a x = 12 .
Ache o comprimento do arco da curva y = ln ⁡ x de x = 1 a x = e .
Ache o comprimento da catenária y = cosh ⁡ x de ln ⁡ 2 , 5 4 até ln ⁡ 3 , 5 3 .
Ache o centróide da região limitada pela parábola y 2 = x e pela reta y = x - 2 .
Ache o centróide da região limitada acima pela parábola 4 x 2 = 36 - 9 y e abaixo pelo eixo x .