Enunciado

34. Suponha que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e de um cubo seja constante.

a) Mostre que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera for igual ao comprimento de uma aresta do cubo.

b) Quando a soma dos volumes será máxima?

Passo 1

a) Então pessoal, antes de resolvermos o problema temos que definir as variáveis do nosso problema, certo? Sendo assim, vamos chamar de x o diâmetro da esfera e vamos chamar de y o comprimento de apenas uma aresta do cubo, ok? A área da superfície de uma esfera é dada por:

S e = π x 2

Já a área de superfície de um cubo é dada por:

S c = 6 y 2

Então a soma dessas áreas será:

S = π x 2 + 6 y 2 = C o n s t a n t e

Além disso, queremos uma expressão para a soma dos volumes desses objetos também. O volume de um cubo é:

V c = y 3

Já o volume de uma esfera é:

V e = 4 3 π r ³

Mas como estamos falando de diâmetro:

V e = 4 3 π x 2 3 = π 6 x 3

Então a soma dos volumes será:

V = π 6 x 3 + y 3

Show!

Passo 2

Vamos isolar y na expressão de S que escrevemos lá em cima, ok? Se fizermos isso teremos:

S = π x 2 + 6 y 2

y 2 = 1 6 S - π x 2

y = S - π x 2 6

Se substituirmos em V , teremos:

V = π 6 x 3 + S - π x 2 6 3

V x = π 6 x 3 + S - π x 2 3 2 6 3 2

Note que agora temos uma função apenas de x , o que facilita bastante nossa vida! O enunciado pede algo relacionado à volume mínimo, então devemos utilizar as noções de cálculo que aprendemos! Em outras palavras, vamos derivar nossa função e igualar a zero para encontrar os pontos críticos e, em seguida, os pontos de mínimo! Derivando:

d V d x = π 2 x 2 - 3 π 6 3 2 x S - π x 2 1 2

Simplificando:

d V d x = π 2 6 x 6 x - S - π x 2

Ok, encontramos nossa derivada!

Passo 3

Da derivada que encontramos no passo anterior, se igualarmos a zero, teremos:

π 2 6 x 6 x - S - π x 2 = 0

As únicas formas desse produto dar zero é se:

x = 0

6 x - S - π x 2 = 0

Desse segundo tiramos que:

S - π x 2 = 6 x

Elevando ambos os lados ao quadrado:

S - π x 2 = 6 x 2

S = x 2 π + 6

x = ± S 6 + π

Como não existe diâmetro negativo e nulo, então:

x = S 6 + π

Ok, encontramos o diâmetro da esfera que faz com que a soma dos volumes seja mínima! Substituindo na expressão de y , obteremos:

y = S 6 + π

Que é exatamente igual a x ! Sendo assim, fica provado que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera é igual ao comprimento de uma aresta de um cubo.

Passo 4

b) Então galera, de acordo com o que calculamos no passo anterior, a soma dos volumes será máxima quando ou a esfera ou o cubo não existirem.

Resposta

a) x = y = S 6 + π

b) Quando um dos dois não existirem.

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