Enunciado

Estude o sinal da expressão.

(2 - x)/(3 - x)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente estudar o sinal da expressão, isso quer dizer que ele quer saber onde essa função é positiva, onde ela é negativa e quais são os zeros (as raízes) da função.

Então, vamos analisar três situações, quando a expressão toda é maior que zero, quando é menor que zero e quando é igual a zero. Pra isso, vamos verificar o sinal do numerador e do denominador separadamente, para que o resultado satisfaça a expressão que desejamos, que, no caso, são:

Para maior do que zero:

(2 - x)/(3 - x) > 0

Para menor do que zero:

(2 - x)/(3 - x) < 0

E para igual a zero:

(2 - x)/(3 - x) = 0

Passo 2

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar o numerador e o denimonador separadamente:

Para 2 - x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x > 2 e assume valores positivos quando x < 2 .

Para 3 - x temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x > 3 e assume valores positivos quando x < 3 .

Beleza, mas o que isso quer dizer? Nossa primeira condição é que (2 - x)/(3 - x) > 0 , ou seja, o quociente seja positivo. Então, com base nos sinais que vimos nos termos do numerador e denominador, vamos construir nosso quadro de sinais:

Repare que a nossa função é positiva para x < 2 e para x > 3 , ou seja, (2 - x)/(3 - x) > 0 no intervalo:

(- oo , 2) uu ( 3 , oo )

Passo 3

A mesma análise que fizemos no passo 2 , serve para verificar o que acontece quando a nossa expressão geral é menor do que zero (negativa). Então, vamos olhar de novo para o quadro de sinais que construímos:

Repare que a nossa função só é negativa (ali na última linha da tabela), quando x tá entre 2 e 3 . Isso quer dizer que para (2 - x)/(3 - x) < 0 , temos:

2 < x < 3

Ou, na notação de intervalo, ( 2 , 3 ) .

Passo 4

Agora vamos resolver a equação para quando nossa função é igual a zero:

(2 - x)/(3 - x) = 0

Como o denominador nunca pode zerar, para que esse quociente seja zero, precisamos que a expressão do numerador seja igual a zero. Assim temos:

2 - x = 0 -> x = 2

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

(2 - x)/(3 - x) > 0 para x < 2 ou x > 3

(2 - x)/(3 - x) < 0 para 2 < x < 3

(2 - x)/(3 - x) = 0 para x = 2 e não está definida para x = 3

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Considere o polinômio do 2 º º grau a x 2 + b x + c e suponha Δ0 . Utilizando o item ( a ) do Exercício 8 , prove:Se a0 , então a x 2 + b x + c0 para todo x .Se a0 , então a x 2 + b x + c0 para todo x