Enunciado

Nos exercícios de 13 a 16 , ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações dadas.

r = 4 sen ⁡ θ r = 4 cos ⁡ θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

A partir daí, percebemos que os pontos de intersecção são A 2 2 , π 4 . A região de intersecção é simétrica em relação ao à origem e sua área pode ser obtida a partir do cálculo da área que está abaixo da reta que delimita a origem, multiplicada por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 1 2 . 2 ( ∫ 0 π 4 4 s e n θ 2 d θ ) = 8 . ∫ 0 π 4 1 - c o s 2 θ d θ = 8 θ - 1 2 s e n 2 θ 0 π 4 =

= 2 π - 4

Resposta

A = 2 π - 4

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