Enunciado

Usando coordenadas polares, calcular:

d) int_0^1 int_0^(sqrt(y - y^2)) y d x d y

Passo 1

Temos que:

0 <= x <= sqrt(y - y^2)

0 <= y <= 1

A representação da região de integração é dada:

Assim:

x <= sqrt(y - y^2)

x^2 <= y - y^2

x^2 + y^2 <= y

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= r s e n theta

r <= s e n theta

Desse modo, temos que:

0 <= r <= s e n theta

0 <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^((pi)/(2)) int_0^(s e n theta) r s e n theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^(s e n theta) r^2 s e n theta d r = (r^3)/(3) s e n theta

Aplicando os limites:

((s e n^3 theta - 0))/(3) * s e n theta = (s e n^4 theta)/(3)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^((pi)/(2)) (s e n^4 theta)/(3) d theta = (1)/(3) (- (1)/(4) s e n^3 theta * cos theta + (3)/(4) int_0^((pi)/(2)) s e n^2 theta d theta)

int_0^((pi)/(2)) (s e n^4 theta)/(3) d theta = - (1)/(12) s e n^3 theta * cos theta - (1)/(8) s e n theta * cos theta + (theta)/(8)

Aplicando os limites:

- (1)/(12) (0 - 0) - (1)/(8) (0 - 0) + (1)/(8) ((pi)/(2) - 0) = (pi)/(16)

Resposta

(pi)/(16)

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