Usando coordenadas polares, calcular:

d)   ∫ 0 1 ∫ 0 y - y 2 y d x d y

Passo 1

Temos que:

0 ≤ x ≤ y - y 2

0 ≤ y ≤ 1

A representação da região de integração é dada:

Assim:

x ≤ y - y 2

x 2 ≤ y - y 2

x 2 + y 2 ≤ y

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ r   s e n   θ

r ≤ s e n   θ

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ s e n   θ

0 ≤   θ ≤ π 2

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 s e n   θ r   s e n   θ ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 s e n   θ r 2 s e n   θ d r = r 3 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

s e n 3   θ - 0 3 ⋅ s e n   θ = s e n 4   θ 3

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 2 s e n 4   θ 3 d θ = 1 3 - 1 4   s e n 3   θ ⋅ cos ⁡ θ + 3 4 ∫ 0 π 2 s e n 2   θ d θ

∫ 0 π 2 s e n 4   θ 3 d θ = - 1 12   s e n 3   θ ⋅ cos ⁡ θ - 1 8 s e n   θ ⋅ cos ⁡ θ + θ 8

Aplicando os limites:

- 1 12 0 - 0 - 1 8 0 - 0 + 1 8 π 2 - 0 = π 16

Resposta

π 16

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