Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

4 )   G x = x 2 - 3 x - 4 x - 4 ,     x ≠ 4 2 ,     x = 4

Passo 1

A primeira coisa que vamos notar aqui é no numerador da divisão de polinômios dentro dessa função definida por partes. Por ser de segundo grau, vale Bháskara. Bora fazer então:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Como temos x 2 - 3 x - 4 ...

x 1,2 = 3 ± 9 + 4.4 2 = 3 ± 9 + 16 2 = 3 ± 25 2

x 1,2 = 3 ± 5 2 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Show de bola, reescrevemos então a função para:

G x = x + 1 x - 4 x - 4 ,     x ≠ 4 2 ,     x = 4

Passo 2

Pra gente ver onde a função é descontínua, temos que procurar pontos que “dão ruim”. Olha só, na divisão de polinômios, tem um único ponto que se encaixa:

x + 1 x - 4 x - 4

Esse ponto é o x = 4 já que ele zera o denominador. Note que apesar do limite...

lim x → 4 ⁡ x + 1 x - 4 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x + 1 = 5

...existir, e G 4 = 2 estar definido, não é uma verdade que:

lim x → - 3 ⁡ x + 1 x - 4 x - 4 = G 4

Logo a função é descontínua em x = 4

Passo 3

Pra esboçar a gente pode cortar em cima e em baixo o que está em comum:

G x = x + 1 x - 4 x - 4 ,     x ≠ 4 2 ,     x = 4 = x + 1 ,     x ≠ 4 2 ,     x = 4

Basta esboçarmos a reta x + 1 , não marcarmos o ponto 4,5 , mas marcamos o ponto 4,2 , já que este está definido:

Resposta

Apesar de definido em x = 4 , não é uma função contínua

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