Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

12. y = c o s e c 2 x ; eixo x ; x = π 4 ; x = π 3

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [   π 4 ,   π 3 ] no eixo x ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n c o s e c 2 ( w i ) ∆ i x

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n c o s e c 2 ( w i ) ∆ i x = ∫ π 4 π 3 c o s e c 2 ( x ) d x

Resolvendo...

∫ π 4 π 3 c o s e c 2 ( x ) d x (A integral de c o s e c 2 é tabelada, é - c o t g x )

- c o t g ( x ) π 4 π 3 = ( - co tg ⁡ π 3 - ( - c o t g π 4 ) = 3 3 + 1

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n c o s e c 2 ( w i ) ∆ i x

c) A = 3 3 + 1

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