Enunciado

Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado e o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma rosácea visto que ela tem a forma de:

r = a s e n n θ

Além disso, como n é ímpar neste caso, a rosácea terá n pétalas sendo que metade da primeira pétala é formada no intervalo [ 0 ,   π / 6 ] . Com isso, o comprimento total se dará por 2 n

Vezes o resultado obtido (onde n = 3 para este exercício).

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 3 s e n 3 θ = 9 cos ⁡ 3 θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 2 3 ∫ 0 π / 6 9 cos ⁡ 3 θ 2 + 3 s e n 3 θ 2 d θ

s = 6 ∫ 0 π / 6 81 c o s 2 3 θ + 9 s e n 2 3 θ d θ

Logo:

s = 6 ∫ 0 π / 6 9 9 c o s 2 3 θ + s e n 2 3 θ d θ

Portanto:

s = 18 ∫ 0 π / 6 9 c o s 2 3 θ + s e n 2 3 θ d θ

Resposta

18 ∫ 0 π / 6 9 c o s 2 3 θ + s e n 2 3 θ d θ

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