Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de que x 2 + y 2 + z 2 = 16 temos:

z = ± 16 - x 2 - y 2

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sem ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

z = ± 16 - r 2

E quando z = 0 , temos:

x 2 + y 2 = 16

r 2 = 4 2

r = 4

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

2 ≤ r ≤ 4 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

Temos que:

z = ± 16 - r 2

Por simetria, podemos dizer que:

z = 2 16 - r 2

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 2 4 2 16 - r 2 ⋅ r d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar integração por substituição. Chamaremos 16 - r 2 = t 2 , logo 2 t d t = - 2 r d r :

∫ 2 4 2 16 - r 2 ⋅ r d r = 2 ∫ 2 4 - t ( t ) d t

2 ∫ 2 4 - t 2 d t = 2 - t 3 3 2 4

Substituindo, novamente, temos:

2 ∫ 2 4 - t 2 d t = 2 - 16 - r 2 3 3 2 4

2 ∫ 2 4 - t 2 d t = - 2 16 - 4 2 3 - 16 - 2 2 3 3

∫ 2 4 2 16 - r 2 ⋅ r d r = - 2 0 3 - 12 3 3

∫ 2 4 2 16 - r 2 ⋅ r d r = 24 12 3

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 2 4 2 16 - r 2 ⋅ r d r d θ = ∫ 0 2 π 2 4 12 3 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 2 12 3 d θ = 24 12 3 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 2 12 3 d θ = 24 12 3 2 π

∫ 0 2 π 2 12 3 d θ = 32 π 3

Portanto o volume vale:

V = 32 π 3

Resposta

V = 32 π 3

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