Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 22
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera e fora do cilindro .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Em coordenadas polares, temos que:
Onde:
Sendo assim, quando nos é dada a condição de que temos:
Sabemos que , logo:
E quando , temos:
Sabemos que o volume do sólido é dado por:
Onde será a região delimitada por:
Passo 2
Agora é só desenvolver. Como:
Temos que:
Por simetria, podemos dizer que:
Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar integração por substituição. Chamaremos , logo :
Substituindo, novamente, temos:
Logo:
Resolvendo, agora, temos:
Portanto o volume vale:
Resposta
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