Enunciado

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Precisamos tentar entender como é o formato dessa piscina para então podermos escrever uma integral dupla que represente o volume dela.

O exercício nos disse que a piscina é circular com 10   m e t r o s de diâmetro, ou seja, com 5   m e t r o s de raio.

Entaõ já sabemos que a região de integração será:

0 ≤ r ≤ 5 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora, temos que descobrir a função a ser integrada. Para isso vamos analisar a profunidade da piscina. Se ela é constante ao longo das retas de leste para oeste, podemos ter a intuição de que a função-profundidade não depende de x , consideranro a direção do eixo x como a direção oeste-leste. Agora, considerando a direção do eixo y como a direção sul-norte, vemos que a função vai ser linearmente dependente de y :

f x , y = a y + b

Passo 2

Para descobrir os valores de a e b , vamos substituir os pontos ocnhecidos:

f x , - 5 = a - 5 + b = 1

b = 1 + 5 a

f x , 5 = 5 a + b = 2

a = 1 10

b = 1 + 5 a = 3 2

Logo:

f x , y = y 10 + 3 2

Transformando em coordenadas polares, temos:

f r , θ = r sen ⁡ θ 10 + 3 2

A integral dupla será então:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r d θ

Passo 3

Agora é só calcular. Primeiro a integral de dentro:

∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r = sen ⁡ θ 10 r 3 3 + 3 2 r 2 2 0 5

∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r = 25 6 sen ⁡ θ + 7 5 4

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r sen ⁡ θ 10 + 3 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π 25 6 sen ⁡ θ + 75 4 d θ

∫ 0 2 π 25 20 sen ⁡ θ + 15 2 d θ = - 25 6 cos ⁡ θ + 75 4 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 25 20 sen ⁡ θ + 15 2 d θ = - 25 6 + 75 π 2 + 25 6 - 0 = 0

V = 75 π 2   m 3

Resposta

V = 75 π 2   m 3

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Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .2-
Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .1-
Uma região é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∫ R ∫ f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma arbitrária qualquer contínua em R .5-
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.31- ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2d x d y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.20- A região dentro do círculo r = 4s e nθ e fora do círculo r = 2