Enunciado

Nos exercícios de 2 a 15: a)Determine os traços.

15-Escreva a equação da superfície de P = ( x ,   y ,   z ) tais que a distâncias de P ao ponto ( 0 ,   0 ,   1 ) é a mesma do que a de P ao plano y = - 1 . Identifique a superfície.

Passo 1

a)Galera, pra começar esse exercício vamos ter que usar a fórmula para distância de um ponto ao plano, que é essa aqui:

d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Nós temos o seguinte plano:

y + 1 = 0

Logo,

a = 0 , b = 1 ,   c = 0 , d = 1

Substituindo na fórmula:

d P ,   π = y + 1 1 2 = y + 1

Agora, nós temos que calcular a distancia de P ao ponto 0,0 , 1 :

d = x 2 + y 2 + z - 1 2

Passo 2

Como a distância entre os pontos e a distância de P ao plano são iguais temos:

x 2 + y 2 + z - 1 2 = y + 1

x 2 + y 2 + z - 1 2 = y 2 + 2 y + 1

x 2 + z - 1 2 = 2 y + 1

Uebaaaa, achamos a equação! Esse é apenas o começo, agora, podemos de fato resolver o item a.

Passo 3

Galera, quando o exercício pede os traços ele quer que vejamos as imagens dessa função quádrica nos 3 planos coordenados: X Y ,   X Z ,   Y Z . E com isso a gente consegue formar imagens mais nítidas de como nossa quádrica deve ser.

A equação que achamos para nossa superfície é essa aqui:

x 2 + z - 1 2 = 2 y + 1

No plano X Y , temos z = 0 . Assim,

x 2 - 2 y = 0

Olhem só, temos a equação de uma parábola.

No plano X Z , temos y = 0 . Assim,

x 2 + z - 1 2 = 1

Olhem só, temos a equação de uma circunferência.

No plano Y Z , temos x = 0 . Assim,

z - 1 2 = 2 y + 1

Olhem só, temos a equação de uma parábola.

Resposta

No plano X Y : x 2 - 2 y = 0

Parábola.

No plano X Z :

x 2 + z - 1 2 = 1

Circunferência de raio 1.

No plano Y Z :

z - 1 2 = 2 y + 1

Parábola.

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