Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

21.

f(s) = (1/2(a + bs))^(ln(a + bs))

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( s ) dada. Para derivar a função f ( s ) podemos usar o método da derivada logarítmica. Onde a f ( s ) pode ser escrita como y = g s h ( s ) . Escrevendo a função f ( s ) da maneira descrita acima:

y = 1 2 a + b s ln ⁡ ( a + b s )

Podemos ajustar a função da seguinte forma:

2 y = a + b s ln ⁡ ( a + b s )

Agora aplicamos o logaritmo neperiano dos dois lados.

ln ⁡ 2 y = ln ⁡ ( a + b s ) ln ⁡ ( a + b s )

ln ⁡ 2 y = ln ⁡ a + b s 2

Agora podemos usar a regra da cadeia para derivar. Também devemos saber que y é uma função de s , logo a derivada dele é uma derivada implícita.

1 2 y × 2 y ' = 2 ln ⁡ a + b s × 1 a + b s × b

y ' y = 2 b ln ⁡ a + b s a + b s

y ' = y × 2 b ln ⁡ a + b s a + b s

Temos que y = 1 2 a + b s ln ⁡ ( a + b s ) , assim substituímos na expressão acima.

y ' = 1 2 a + b s ln ⁡ ( a + b s ) × 2 b ln ⁡ a + b s a + b s

y ' = b a + b s ln ⁡ ( a + b s ) ln ⁡ a + b s a + b s

Temos então que a derivada de f s é:

f ' s = b a + b s ln ⁡ ( a + b s ) ln ⁡ a + b s a + b s

Resposta

f ' s = b a + b s ln ⁡ ( a + b s ) ln ⁡ a + b s a + b s

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