Suponha uρ(θ) = cosθ i + senθ j , u→_θ(θ) = -sen(θ)i→ + cos(θ)j→ e r(t) = ρ(t) u_ρ(theta(t)) , com theta = theta(t) e rho = rho(t) deriváveis até a 2ª ordem num intervalo I .

Notação:

ρ. = dρ/dt , θ. = dθ/dt , ρ.. = d²ρ/dt²

Verifique que

a = [¨rho - rho \* (˙theta)^2] u_rho + [2 \* ˙rho \* ˙theta + rho \* ¨theta] u_theta

Passo 1

O vetor aceleração a → é a derivada do vetor velocidade que foi encontrado no item c

v → = ρ ˙   u → ρ + ρ   θ ˙   u → θ

Então derivando

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙ d u → ρ d t + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ + ρ   θ ˙ d u → θ d t

Usando as relações dos itens anteriores

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ + ρ   θ ˙   - θ ˙   u → ρ

a → = ρ ¨   u → ρ +   ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ ˙   θ ˙   u → θ + ρ   θ ¨   u → θ - ρ   θ ˙ 2   u → ρ

Colocando u → ρ e u → θ em evidencia

a → = ρ ¨ - ρ θ ˙ 2   u → ρ + [ 2 ρ ˙ θ ˙ + ρ θ ¨ ]   u → θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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