Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas

2.

f x , y = x + y y 2 - x 2

∂ f x , y ∂ y

Passo 1

OIi , neste capitulo estamos subindo de nível. Em cálculo 1 tínhamos apenas uma variável e várias constantes na nossa equação. Agora temos 2 ... 3 variáveis na mesma equação.

O que fazer? Primeiro sem pânico. Sabemos derivar! O que vamos fazer agora que temos várias variáveis e queremos derivar parcialmente é tratar a variável que você quer derivar como única e todas as outras passam a ser constantes no nosso sistema. Por exemplo, se nossa equação é

f x , y = x 2 + y 2

Se quisermos derivamos parcial para y faremos

∂ f ∂ y = 2 y

Afinal se x é uma constante, ao derivar ela se torna nula. 😉

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

f x , y = x + y y 2 - x 2

E queremos derivar parcial em y. Vamos lembrar rapidinho que derivada de quociente tem o seguinte formato

f g ' = f ' g - f g ' g 2  

Então nossa derivada fica :

∂ f ∂ y = x + y ' y 2 - x 2 - x + y y 2 - x 2 ' y 2 - x 2 2

= 1 y 2 - x 2 - x + y ⋅ 2 y 2 y 2 - x 2   y 2 - x 2

= y 2 - x 2 - x + y ⋅ 2 y 2 y 2 - x 2 ⋅ 1 y 2 - x 2

= y 2 - x 2 - x + y ⋅ y ⋅ 1 y 2 - x 2 y 2 - x 2  

= y 2 - x 2 - y 2 - x y ⋅ 1 y 2 - x 2 y 2 - x 2  

= - x 2 - x y y 2 - x 2 y 2 - x 2  

= - x x + y y 2 - x 2 y 2 - x 2

Vamos simplificar essa equação

= - x x + y y - x y + x y 2 - x 2

= - x y - x y 2 - x 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∂ ∂ y x + y y 2 - x 2 =   - x y - x y 2 - x 2

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