Enunciado

Nos Exercícios 65-68, encontre e esboce o domínio de f . Em seguida, encontre uma equação para a curva de nível ou superfície da função passando pelo ponto dado.

g x ,   y ,   z = ∑ n = 0 ∞ x + y n n ! z n ,       l n l n   4   , l n l n   9   ,   2

Passo 1

Oi pessoal, espero que estejam bem e ansiosos para resolvermos este exercício. Então vamos lá!

Uma função com três variáveis, f , é uma regra que associa a cada tripla ordenada x ,   y ,   z em um domínio D ∈ R 3 um único número real, denotado por f x ,   y ,   z , ou seja:

f x ,   y ,   z | ( x ,   y ,   z ) ∈ D

No enunciado temos a seguinte função:

g x ,   y ,   z = ∑ n = 0 ∞ x + y n n ! z n

Que é representada por uma série. E relembrando as aulas sobre séries, sabemos que:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Então no nosso exercício, podemos dizer que:

∑ n = 0 ∞ x + y n n ! z n = e x + y z

Ou seja, nossa função pode ser definida por:

g x ,   y ,   z = e x + y z

Sendo assim, nosso domínio é:

D = x ,   y ,   z ∈ R 3 |   z ≠ 0

Logo, para o domínio, temos a seguinte Figura:

Passo 2

O conjunto de pontos no plano onde uma função f x ,   y possui um valor constante f x ,   y = c é denominado curva de nível de f .

Substituindo os valores do enunciado na equação, temos:

x + y z = l n l n   36   2 = l n l n   6  

z = x + y l n l n   6  

Tchau pessoal.

Resposta

D = x ,   y ,   z ∈ R 3 |   z ≠ 0 ;

Curva de nível 🡪 z = x + y l n l n   6     .

Exercícios de Livros Relacionados

Case a função ( a ) com seu gráfico (indicado por A - F na página 899) e b ) com seus mapas de contorno (indicado por I - V I ). Dê razões para sua escolha.53- z = s e n x 2 + y 2
Case a função ( a ) com seu gráfico (indicado por A - F na página 899) e b ) com seus mapas de contorno (indicado por I - V I ). Dê razões para sua escolha.56- z = x 3 - 3 x y 2
Case a função ( a ) com seu gráfico (indicado por A - F na página 899) e b ) com seus mapas de contorno (indicado por I - V I ). Dê razões para sua escolha.54- z = x 2 y 2 e - x 2 - y 2
Case a função ( a ) com seu gráfico (indicado por A - F na página 899) e b ) com seus mapas de contorno (indicado por I - V I ). Dê razões para sua escolha.55- z = 1 x 2 + 4 y 2
Case a função ( a ) com seu gráfico (indicado por A - F na página 899) e b ) com seus mapas de contorno (indicado por I - V I ). Dê razões para sua escolha.58- z = s e n 2 x + 1 4 y 2