Enunciado

Encontre os pontos nas curvas dadas onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

63. r = 1 + c o s θ

Passo 1

Certo, para encontrarmos os pontos onde há retas tangentes horizontais e verticais, usamos as coordenadas cartesianas e as suas relações com as coordenadas polares:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

E substituímos r :

x = 1 + c o s θ c o s θ

y = 1 + c o s θ s e n θ

Passo 2

Ao fazermos as derivadas em relação a θ , para as equações que encontramos, podemos igualar o resultado a zero para obter a coordenada θ das retas tangentes, depois basta substituirmos na equação de r dada no enunciado para encontrarmos a outra coordenada. Fazendo a derivada de x primeiro temos:

d x d θ = - 1 1 + c o s θ s e n θ - c o s θ s e n θ = 0

Usando a relação trigonométrica:

s e n 2 θ = 2 c o s θ s e n θ

Ficamos com:

- 1 1 + c o s θ s e n θ - c o s θ s e n θ = - s e n θ 1 + 2 c o s θ = 0

E a gente pode tirar do último resultado que:

s e n θ = 0

θ será:

θ = 0   o u   π

E

2 c o s θ = - 1

c o s θ = - 1 2

θ = 2 π 3   o u 4 π 3

Substituindo cada resultado na equação de r ficamos com:

r = 1 + cos ⁡ 0 = 2

r = 1 + cos ⁡ π = 0

r = 1 + cos ⁡ 2 π 3 = 1 2

r = 1 + cos ⁡ 4 π 3 = 1 2

E as coordenadas das retas verticais serão:

0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   1 2 , 2 π 3   e   1 2 , 4 π 3

Passo 3

Para as horizontais a gente deriva a equação de y em relação a θ e igualamos a zero:

d y d θ = 1 + c o s θ c o s θ - s e n 2 θ = 0

Abrindo o produto:

1 + c o s θ c o s θ - s e n 2 θ = c o s θ + cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = 0

Usando a relação:

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Ficamos com:

2 cos 2 ⁡ θ + c o s θ - 1 = 0

Reescrevendo:

2 c o s θ - 1 c o s θ + 1 = 0

Então podemos perceber que cossenos, para satisfazer a igualdade, devem ser:

c o s θ = - 1

c o s θ = 1 2

Aplicando arco cosseno, θ vai ter os seguintes valores:

θ = π 3 ,   π   o u 5 π 3

Substituindo eles na equação de r :

r = 1 + cos ⁡ π 3 = 3 2

r = 1 + cos ⁡ π = 0

r = 1 + cos ⁡ 5 π 3 = 3 2

E as coordenadas dos pontos em que as retas tangentes são horizontais são:

3 2 , π 3 ,   0 ,   π   e   3 2 , 5 π 3

Resposta

v e r t i c a i s :   0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   1 2 , 2 π 3   e   1 2 , 4 π 3

h o r i z o n t a i s :   3 2 , π 3 ,   0 ,   π   e   3 2 , 5 π 3

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