Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 63
Encontre os pontos nas curvas dadas onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
63.
Passo 1
Certo, para encontrarmos os pontos onde há retas tangentes horizontais e verticais, usamos as coordenadas cartesianas e as suas relações com as coordenadas polares:
E substituímos :
Passo 2
Ao fazermos as derivadas em relação a , para as equações que encontramos, podemos igualar o resultado a zero para obter a coordenada das retas tangentes, depois basta substituirmos na equação de dada no enunciado para encontrarmos a outra coordenada. Fazendo a derivada de x primeiro temos:
Usando a relação trigonométrica:
Ficamos com:
E a gente pode tirar do último resultado que:
será:
E
Substituindo cada resultado na equação de ficamos com:
E as coordenadas das retas verticais serão:
Passo 3
Para as horizontais a gente deriva a equação de em relação a e igualamos a zero:
Abrindo o produto:
Usando a relação:
Ficamos com:
Reescrevendo:
Então podemos perceber que cossenos, para satisfazer a igualdade, devem ser:
Aplicando arco cosseno, vai ter os seguintes valores:
Substituindo eles na equação de :
E as coordenadas dos pontos em que as retas tangentes são horizontais são: