Enunciado

Os Exercícios 1-18 fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro para o movimento de uma partícula no plano x y . Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para ela. Desenhe o gráfico de cartesiana (os gráficos irão variar conforme a equação utilizada). Indique a parte do gráfico percorrida pela partícula e a direção do movimento.

15. x = sec 2 ⁡ t - 1 ,   t = tg ⁡ t , - π 2 < t < π 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos escrever a equação paramétrica em coordenadas cartesianas.

Para fazer isso, temos que eliminar o parâmetro t . Qual é a conexão entre a função secante e a função tangente?

Como a função secante é um cosseno recíproco, então:

sec 2 ⁡ t - 1 = 1 - cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t - cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t = tg 2 ⁡ t   ( 1 )

Como a variável x é definida como sec 2 ⁡ t - 1 , então usando a expressão (1) concluímos que podemos escrever a variável x também como:

x = tg 2 ⁡ t   ( 2 )

Como y é igual à função tangente, podemos escrever a expressão (2) como:

x = y 2

Passo 2

O gráfico da equação anterior é uma parábola voltada para o eixo x . No intervalo - π 2 , π 2 , a função tangente toma todos os números reais. Portanto, y tem todo o conjunto de números reais para a imagem. Como x é definido como y 2 , devido ao quadrado, x assume todos os números não negativos. Dadas as conclusões anteriores, desenhamos a parábola inteira ou apenas uma pequena parte?

Como a imagem de y é o conjunto completo de números reais, desenhamos a parábola inteira (porque incluímos qualquer valor de y na equação da parábola).

As coordenadas da posição da partícula satisfazem a equação x = y 2 , então a partícula se move ao longo da parábola x = y 2 .

Passo 3

Se desenharmos esses pontos na parábola, obtemos a direção do movimento da partícula:

Determinamos a direção do movimento da partícula para que as setas passassem de valores menores do parâmetro t para valores maiores.

Resposta

x = y 2

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Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 2 cos ⁡ 4 θ
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Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 + 5 s e n θ