Enunciado

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n - 2 n n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ n - 2 n n

Vamos assumir que

a n = n 10 10 n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 10 n + 1 n 10 10 n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 10 n + 1 × 10 n n 10 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 10 ( n ) 10

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 10 ( n ) 10 = 1 10 lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 ( n ) 10

Aplicando o valor que n tende:

1 10 lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 ( n ) 10 = 1 10

Portanto, podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência da série:sum_(k = 1)^(oo) (2^k k !)/((k + 2) !)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 0)^(oo) (n !)/(2 * 5 * 8 * * * * * ( 3 n + 2 ))
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(k = 1)^(oo) (k + 5)/(5^k)
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (n !)/(e^(n^2))
Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) ((- 2)^(2 n))/(n^n)