Enunciado

Existe evidência considerável para apoiar a teoria de que, para algumas espécies, existe uma população mínima m de forma que as espécies se tornarão extintas se o tamanho da população cair abaixo de m . Essa condição pode ser incorporada à equação logística pela introdução do fator 1 - m P . Então o modelo logístico modificado é dado pela equação diferencial

d P d t = k P 1 - P K 1 - m P

(a) Use a equação diferencial para mostrar que qualquer solução é crescente se m < P < K e decrescente se 0 < P < m .

(b) Para o caso onde k = 0,08   , K = 1000 e m = 200 , desenhe um campo de direções e use-o para esboçar várias curvas solução. Descreva o que acontece à população para várias populações iniciais. Quais são as soluções de equilíbrio?

(c) Resolva a equação diferencial explicitamente, usando frações parciais ou um sistema de computação algébrica. Use a população inicial P 0 .

(d) Use a solução na parte (c) para mostrar que se P 0 < m , então a espécie se tornará extinta. [Sugestão: Mostre que o numerador em sua expressão para P t é 0 para algum valor de t .]

Passo 1

(a) Hey, pessoal! Aqui a gente vai ter que lidar com essa nova equação diferencial, uma modificação da equação logística. Nós temos que mostrar para quais valores a solução P ( t ) é crescente ou decrescente. E como a gente faz isso?

Bom, basta olhar onde a derivada de P é positiva ou negativa: se for positiva, é crescente; se for negativa, é decrescente. E olha que bom, já conhecemos a derivada de P :

d P d t = k P 1 - P K 1 - m P

Agora temos que analisar o sinal de cada termo. Já sabemos que k é uma constante positiva e que P , a população, é sempre maior ou igual a 0 , né?

Então, se os outros dois termos forem de sinais iguais, a derivada é positiva; e se forem de sinais diferentes, a derivada é negativa. Vamos olhar cada caso:

  • Ambos positivos:
  • 1 - P K > 0 ⇒ P < K

    1 - m P > 0 ⇒ P > m

    ⇒ m < P < K

  • Ambos negativos:
  • P > K   e   P < m ⇒ K < P < m

    Mas é impossível K < m , pois K é tipo uma população máxima e m é a mínima.

  • O primeiro é positivo e o segundo é negativo:
  • P < K   e   P < m ⇒ 0 < P < m

    Pelo mesmo motivo já citado, se a população é menor que a mínima, então já é menor que a máxima, por isso já tem sentido suficiente afirmar que ela é menor que a mínima.

  • O primeiro é negativo e o segundo é positivo:

P > K   e   P > m ⇒ P > K

Novamente, se a população é maior do que a máxima, então já é maior que a mínima.

Assim, fica provado: a solução tem derivada positiva, e portanto é crescente, quando m < P < K ; a solução tem derivada negativa, e portanto é decrescente, quando 0 < P < m .

Passo 2

(b) Com os dados do enunciado, a equação diferencial fica assim:

d P d t = 0,08   P 1 - P 1000 1 - 200 P

Agora vamos esboçar seu campo de direções com algumas curvas solução:

Quando a população começa abaixo de 200 , ou seja, 0 < P 0 < 200 , ela tende a cair pra 0 , o que é justamente o que se espera pois m = 200 . Se 200 < P 0 < 1000 , a solução cresce para 1000 . Se P 0 > 1000 , tende a decrescer para 1000 . E quando P 0 = 200 ou P 0 = 1000 , elas são constantes, pois ambas são soluções de equilíbrio.

Passo 3

(c) Agora vamos resolver a equação diferencial usando um sistema de computação algébrica:

P t = m K - P 0 + K P 0 - m e K - m k K t K - P 0 + P 0 - m e K - m k K t

Passo 4

(d) Show! Vamos mostrar agora que, se P 0 < m , então a população está fadada a se extinguir.

Seguindo a sugestão, vamos olhar pro numerador da expressão que a gente encontrou pra P t e tentar igualar a 0 . Se a gente conseguir encontrar um valor de t > 0 tal que isso aconteça, então provamos o que queríamos. Vamo lá?

m K - P 0 + K P 0 - m e K - m k K t = 0

e K - m k K t = - m K - P 0 K P 0 - m

K - m k K t = ln ⁡ m P 0 - K K P 0 - m

t = k K - m K   ln ⁡ m P 0 - K K P 0 - m

Agora só precisamos provar que essa expressão é positiva.

Veja que a constante que multiplica o logaritmo é positiva, pois k > 0 ,     K > 0 e K - m > 0 , pois a população máxima é sempre maior do que a população mínima.

Então a gente tem que provar que o logaritmo é positivo. Mas quando isso acontece?

Como o logaritmo está na base e > 1 , a expressão dentro do logaritmo também tem que ser maior do que 1 pra ele ser positivo, beleza?

m P 0 - K K P 0 - m > 1

Se essa inequação se mostrar verdadeira, então provamos. Vamos multiplicar os dois lados por P 0 - m . Mas lembre-se que esse termo é negativo (pois P 0 < m ), e portanto, o sinal > inverte para < , olha só:

m P 0 - m K < K P 0 - m K

m < K

É isso aí! A população mínima é sempre menor do que a “população máxima”, então tá provado!

Resposta

(c) P t = m K - P 0 + K P 0 - m e K - m k K t K - P 0 + P 0 - m e K - m k K t

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