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Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?

Passo 1

Para resolver essa questão, depois de encontrar o vetor gradiente da curva, devemos igualá-lo ao produto do vetor gradiente do plano dado por um escalar. Pela igualdade poderemos encontrar ao valor do escalar e encontrar o ponto o plano tangente do hiperboloide é paralelo ao plano dado.

Passo 2

Primeiro temos as seguintes derivadas parciais

f x = 2 x   ; f y = - 2 y   ; f z = - 2 z

O gradiente então é dado por

∇ f x , y , z = 2 x , - 2 y , - 2 z

Num dado ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 2 x 0 , - 2 y 0 , - 2 z 0

Passo 3

Olhando para o plano:

∇ g x , y , z = 1,1 , - 1

Passo 4

Para serem paralelos, temos que:

2 x 0 , - 2 y 0 , - 2 z 0 = c 1,1 , - 1

x 0 = c 2 ; y 0 = - c 2 ; z 0 = c 2

Substituindo na equação do hiperbolóide, temos:

c 2 2 - - c 2 2 - c 2 2 = 1

c ² = - 4

As únicas soluções pra essa equação seriam

c = ± 2 i

Assim, não existe valor real para c que satisfaça a equação acima, fazendo com que não existam tangentes a esse hiperboloide que sejam paralelos ao plano z = x + y .

Resposta

Não existem planos paralelos ao plano z = x + y .

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