Enunciado

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

  f x = x em p = 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a função f x = x é contínua no ponto p = 4 , usando a definição de continuidade.

Para provar que f é contínua em p temos que mostrar que para um ϵ > 0 existe um intervalo aberto I que contenha 2 , de modo que:

x ∈ I ⇒ f p - ϵ <   f x < f p + ϵ

x ∈ I ⇒ f 4 - ϵ <   f x < f 4 + ϵ

Isso significa que se pegarmos um x que pertença a um intervalo I que é a “vizinhança” de p , o valor da função nesse x deve estar no máximo a um ϵ de distância de f p .

Vamos lá!

Passo 2

Resolvendo a inequação e aplicando o p = 4 , temos:

f 4 - ϵ <   f x < f 4 + ϵ

Como f 4 = 4 = 2 , vamos ter:

4 - ϵ < x < 4 + ϵ

2 - ϵ < x < 2 + ϵ

Vamos tirar essa raiz do x elevando todo mundo ao quadrado:

2 - ϵ 2 < x < 2 + ϵ 2

Assim, podemos definir o nosso intervalo I como sendo:

I = 2 - ϵ 2 , 2 + ϵ 2

Com 0 < ϵ < 2 , temos que I estaria definido como:

I = 2 - 2 2 , 2 + 2 2 = 0,16

De modo que 4 ∈ I .

Então, satisfizemos a condição de continuidade:

x ∈ I ⇒ f 4 - ϵ <   f x < f 4 + ϵ

Logo, f é contínua em p .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número a .
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Mostre que f é contínua em ( - ∞ , ∞ )
Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número a .